Эффективная эквивалентная доза Физика ядерного реактора
Проекции Косоугольные аксонометрические проекции Прямоугольная изометрия Выбор аксонометрических проекций Решение главных позиционных задач Методические рекомендации к решению задачи Построение проекций поверхностей вращения

Решение задач по начертательной геометрии

3 алгоритм

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие.

В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной проекции ни у одной из пересекающихся фигур. Поэтому для решения таких задач специально вводят вспомогательную секущую поверхность-посредник, которая пересекает обе фигуры, выявляя общие точки. Эта поверхность-посредник может быть проецирующей, и тогда решение задачи можно свести ко 2 алгоритму, или непроецирующей (например, сфера - посредник). Решение первой и второй ГПЗ рассмотрим отдельно.

Решение 1ГПЗ

Для нахождения точек пересечения прямой с поверхностью в качестве поверхности-посредника чаще всего берут проецирующую плоскость, которую проводят через данную прямую. Далее находят линию пересечения этой плоскости с поверхностью, используя 2 алгоритм, и определяют точки пересечения полученной линии с данной прямой. Эти точки и будут являться точками пересечения поверхности с прямой (рис. 3-35).

Рис. 3-35

Рассмотрим этот алгоритм на конкретном примере.

Задача: Найти точку пересечения плоскости Г(АВС) с прямой а.

Определить видимость прямой (рис. 3-36).

Рис. 3-36

Алгоритм:

1. Возьмём плоскость-посредник S так, чтобы она включала в себя прямую а и была бы проецирующей, например, относительно П1. Тогда S1 совпадёт с а1 (рис. 3-37а,б).

Рис. 3-37а

Рис. 3-37б

2. Пересекаем проецирующую плоскость S с плоскостью общего положения АВС, результатом будет прямая m. Задачу решаем по 2 алгоритму: m2 совпадает с S2, m1 находим по принадлежности плоскости АВС. m =12 Þ m2 = 1222.

3. m2, пересекаясь с а2, даёт нам точку К2 Þ К1.

4. Видимость прямой а определяем методом конкурирующих точек (рис. 3-37в):

Рис. 3-37в

Видимость относительно П2:

5ÎАВ, 3Îа - фронтально конкурирующие. На П2 видна точка 3 Þ участок прямой а слева от точки К2 - видимый.

Видимость относительно П1:

2 Î ВС, 4 Î а - горизонтально конкурирующие. На П1 видна точка 2 Þ участок прямой а справа от точки К1 до точки 41 - невидимый.

Выполним краткую алгоритмическую запись решения задачи:

Г(АВС) Ç а = К. 1 ГПЗ, 3 алгоритм.

S - плоскость-посредник, S É а, S || П1 Þ S1= а1;

S Ç Г = m. 2 ГПЗ, 2 алгоритм. S ^^ П1 Þ m1 = S1; m2 Ì Г

m2 Ç а2 = К2 Þ К1.

Такой алгоритм решения приемлем для нахождения точек пересечения любой поверхности с прямой линией. Разница заключается в форме линии m, которая является результатом пересечения плоскости-посредника с заданной поверхностью и зависит от вида поверхности. В рассмотренном примере m - это прямая линия. Если вместо плоскости Г(АВС) возьмём, например, сферу, то линия m будет являться окружностью, которая может проецироваться на какую-либо плоскость проекций в виде эллипса, если с прямой пересекается многогранник, то m - это плоский многоугольник и т.д. Подробнее рассмотрим один из таких примеров, используя указанный алгоритм решения.

Задача: Найти точки пересечения пирамиды Г(SABC) с прямой а (рис. 3-38). Определить видимость прямой.

Рис. 3-38

1. Через прямую а проведём плоскость-посредник S, проецирующую относительно П2 (рис. 3-39а,б). S2 = а2.

Рис. 3-39а

Рис. 3-39б

2. Пересекаем плоскость S с пирамидой. Результатом является замкнутая ломаная линия m(1,2,3) - треугольник. Согласно 2 алгоритму, горизонтальную проекцию треугольника строим по принадлежности пирамиде. Точки 11 и 31 находим с помощью линий связи на соответствующих рёбрах SA и SC. Точку 21 находим по принадлежности плоскости треугольника SBC с помощью вспомогательной прямой 24, параллельной ВС Þ 2141 || B1C1.

3. m1(11,21,31), пересекаясь с а1, даёт нам точки К1 и Р1 Þ К2, Р2.

4. Определяем видимость прямой на обеих проекциях (рис. 3-40). Невидимый участок прямой расположен между точками К и Р.

Рис. 3-40

Выполним алгоритмическую запись решения:

Г(SABC) Ç a = K ,P. 1 ГПЗ, 3 алгоритм.

1. S - плоскость-посредник,

S É а, S ^^ П2 Þ S2 = a2

2. S Ç Г = m(123). 2 ГПЗ, 2 алг.

S ^^ П2 Þ m2(12,22,32) = S2;

m1(11,21,31) Ì Г

3. m1(11,21,31) Ç а1 = К1, Р1 Þ К2, Р2.

Вывод: все задачи на пересечение непроецирующей прямой с любой непроецирующей поверхностью решаются по единому - третьему алгоритму, с помощью плоскости - посредника.

 

Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур)

Чтобы построить линию пересечения двух непроецирующих поверхностей т, нужно выполнить следующие операции:

Задать поверхность-посредник (напоминаем, что в этом качестве чаще всего берутпроецирующую плоскость);

Построить линии пересечения а и b поверхности-посредника с заданными поверхностями;

Найти точки пересечения построенных линий;

Повторять построения столько раз, сколько необходимо для того, чтобы линия пересечения поверхностей выявилась полностью;

Определить видимость линии пересечения m и самих поверхностей.

Следует напомнить, что:

а) Решение 2 ГПЗ необходимо начинать с анализа характера пересечения поверхностей для определения количества линий пересечения m|;

б) Плоскость-посредник необходимо выбирать так, чтобы она пересекала обе поверхности по графически простым линиям - прямым или окружностям.

Рассмотрим алгоритм решения на пространственной модели (рис. 3-41):

Рис. 3-41

Ф Ç D = m; 2ГПЗ, 3 алгоритм .

Отмечаем очевидные точки пересечения - М и Р.

Вводим плоскость-посредник S (как правило - проецирующую.)

Ç Ф = а; S Ç D = b;

а Ç b = K.

Для построения линии m нужно найти такое количество точек, которое определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостей-посредников.

Определяем видимость линии пересечения m и поверхностей.

Задача: Построить линию пересечения конуса Ф со сферой D (рис. 3-42).

Алгоритм: 2ГПЗ , 3 алгоритм.

Рис. 3-42

1. Вначале определяем, что должно быть общим элементом в результате пересечения и количество общих элементов. Пересекаются две поверхности вращения второго порядка, характер пересечения - вмятие, следовательно, должна получиться одна пространственная кривая линия m. Кроме того, поверхности имеют общую плоскость симметрии (это плоскость фронтального меридиана W). Это означает, что линия пересечения симметрична относительно плоскости W, и на П2 две её ветви должны слиться в одну видимую линию.

2. Построения начинаем с характерных точек (рис.3-43), не требующих дополнительных построений для их нахождения. К ним относятся точки М и Р, лежащие в плоскости W и принадлежащие очерковым образующим конуса и сферы на П2 – М2 и P2. М1 и Р1 находим с помощью линии связи.

Рис. 3-43

3. Все остальные точки находим одинаково: задаём плоскость-посредник S (рис. 3-44). В её качестве выбираем горизонтальную плоскость уровня S2. Эта плоскость пересекает конус Ф по окружности а, радиусом R1 (от оси до очерка конуса). Проводим на П1 эту окружность а1 из центра конуса S1.

Рис. 3-44

Эта же плоскость пересекает сферу D по окружности b, радиусом R2 (от оси до очерка сферы). Проводим на П1 эту окружность b1 из центра О1 сферы.

Окружности, пересекаясь, дают нам точки К1 и К1', принадлежащие линии пересечения m. К2 и К2' находим с помощью линии связи по принадлежности плоскости S.Остальные точки находим аналогично.

4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют точки А и А', лежащие в плоскости экватора с сферы (рис. 3-45). На П1 они принадлежат окружности с1. Все точки, расположенные ниже А2 и А2', на П1 будут невидимыми, в том числе и точки Р1, К1 и К1'.

Рис. 3-45

5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости S ', проходящей через точку встречи левой очерковой образующей конуса с перпендикуляром, проведённым из точки пересечения оси конуса с плоскостью экватора сферы (рис. 3-46). Построения проводим так, как описано в п.3.

Рис. 3-46

6. Конечный результат построений с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей приведен на рис. 3-47. Как мы и предполагали на основе анализа в п.1, линия пересечения m одна, симметрична относительно плоскости фронтального меридиана W, симметричные ветви её на П2 слились в одну видимую линию.

Рис. 3-47

Алгоритмическая запись решения:

Ф Ç D = m. 2ГПЗ, 3 алгоритм .

1. Точки М и Р Î W Þ М2; Р2 Þ М1; Р1.

2. S - плоскость-посредник; S || П1,

3. S Ç Ф = а Þ а1; S Ç D = b Þ b1; b1 Ç a1 = K1; K1' Þ K2; K2'.

4. Аналогично строим остальные точки: m1 Þ m2.

5. Видимость m относительно П1: точки А, А' Î с.

Вывод: Решение 2ГПЗ в случае пересечения непроецирующих фигур проводят по единому - третьему алгоритму и осуществляют с помощью плоскостей-посредников, которых берётся такое количество, чтобы линия пересечения выявилась полностью.

Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка

Пересечение соосных поверхностей вращения.

1. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения: Г Ç D = m; n - окружности (рис. 3-48).

Рис. 3-48

2. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сферапересечёт эту поверхность по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения: Ф Ç L = m; n - окружности (рис. 3-49).

Рис. 3-49


Построение аксонометрического чертежа фигуры, заданной комплексным чертежом