Построение аксонометрических проекций http://ruatom.ru/
Проекции Косоугольные аксонометрические проекции Прямоугольная изометрия Выбор аксонометрических проекций Решение главных позиционных задач Методические рекомендации к решению задачи Построение проекций поверхностей вращения

Решение задач по начертательной геометрии

Конические сечения

Решение второй главной позиционной задачи по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений. Ещё в Древней Греции был известен тот факт, что при пересечении конуса различными плоскостями можно получить прямые линии, кривые второго порядка и, как вырожденный случай, точку. На рис. 3-17 показана фронтальная проекция конуса W2, пересечённого фронтально проецирующими плоскостями L2, Г2, F2, D2, S2; в сечениях получаются, соответственно, две прямые а и b, окружность c, эллипс d, парабола m и гипербола k.

Рис. 3-17

Рассмотрим каждый случай получения конических сечений, представленных на рис. 3-17, с точки зрения решения 2 ГПЗ по 2 алгоритму.

1. Две образующие получатся в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину (рис. 3-18).

Fkujhbnv^ W Ç L = a?b$ 2 UGP? 2 fku/

L ^^ G2 Þ a2b2 = L2

a1b1 Ì W

Рис. 3-18

Частным случаем такого вида пересечения конуса плоскостью является такое положение, при котором плоскость L проходит через ось i конуса (на рис. 3-19 L1 совпадает с плоскостью фронтального меридиана).

Рис. 3-19

Результатом пересечения являются образующие конуса с максимальным углом между ними (на рис. 3-19 это - очерковые образующие конуса SA и SB).

Алгоритм: W Ç L = SA + SB. 2 ГПЗ, 2 алг.

L ^^ П1 Þ S1A1 + S1B1 = L1.

S2A2 + S2B2 Ì W.

2. Окружность получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, параллельна окружности основания n (рис 3-20), а значит, перпендикулярна оси i конуса.

Рис. 3-20

Алгоритм: Г Ç W = с. 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г ^^ П2 Þ с2 = Г2.

с1 Ì W .

Вырожденный случай - плоскость Г(Г2) проходит через вершину S конуса W (рис. 3-21). Тогда эта плоскость пересечёт конус только в одной точке. W Ç Г(Г2) = К.

Рис. 3-21

3. Эллипс получится в сечении, если плоскость не перпендикулярна оси конуса и пересекает все его образующие (рис. 3-22, 3-23, 3-24).

Алгоритм: Ф Ç W = d . 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Ф ^^ П2 Þ d2 = Ф2.

d1 Ì W.

Рис. 3-22

Построение эллипса начинаем с его осей (рис. 3-22). АВ - большая ось эллипса, причём, А2В2 - её натуральная величина, А1В1 - её проекция. СЕ - малая ось эллипса, она перпендикулярна большой оси и делит её пополам. Чтобы найти СЕ, разделим А2В2 с помощью циркуля пополам, получим точки С2, Е2, и радиусом R , равным радиусу параллели, на которой лежат точки С и Е, сделаем засечки на линии связи, проведённой от точек С2, Е2. Получим точки С1 и Е1. Эти точки - фронтально конкурирующие, С1 - ближе к нам, поэтому Е2 - невидимая.

Далее эллипс можно строить двояко:

1. Можно строить его по двум осям любым из известных способов (например, приведённым в разделе "Кривые линии"). Этот способ показан на рис. 3-23.

Рис. 3-23

2. Можно строить эллипс по точкам, по принадлежности конусу, особенно, если в какой-либо конкретной задаче эллипс получается неполным. Такое решение показано на рис. 3-24.

Рис. 3-24

Построим три проекции линии пересечения конуса с плоскостью Ф. Горизонтальную проекцию точек А, В, С, Е строим так, как показано на рис. 3-22. Остальные, промежуточные, точки строим аналогично точкам С и Е, по принадлежности параллелям конуса. Радиусом параллели, на которой расположена точка, равным расстоянию от оси до очерка конуса, из центра S1 делаем засечки на линиях связи от соответствующих точек. Соединяем точки с помощью лекала и получаем горизонтальную проекцию эллипса. При данном расположении конуса эллипс на П1 виден весь.

Построение эллипса на П3 начинаем также с характерных точек. Ими являются:

1) Точки А и В, которые расположены в плоскости фронтального меридиана, следовательно, на П2 - на очерковых образующих, а на П3 - на оси.

2) Точки М и N принадлежат профильным образующим - они определяют видимость эллипса относительно П3: часть эллипса от точки В до точек М и N расположена левее профильных образующих, следовательно, на П3 она видна; соответственно, часть эллипса от точек М и N до точки А на П3 не видна .

3) Промежуточные точки на П3 строим, откладывая координату y для каждой точки (расстояния, помеченные одной, двумя или тремя рисками) с П1 на П3. Соединяем точки с учётом видимости и получаем профильную проекцию эллипса.

4. Парабола получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит параллельно только одной его образующей (рис. 3-25).

Алгоритм: W Ç D = m. D || SK. 2 ГПЗ, 2 алгоритм

^^ П2 Þ m2 = D2

m1 Ì W

Рис. 3-25

Построение параболы начинаем с характерных точек:

1) А - вершина параболы. А2 принадлежит очерковой образующей конуса, следовательно, А расположена в плоскости фронтального меридиана Þ А1.

2) Точки В и С - низшие точки параболы, принадлежат окружности основания n конуса, на П1 находим их с помощью линии связи тоже без дополнительных построений.

Промежуточные точки находим так же, как и в случае построения эллипса, то есть по принадлежности параллелям конуса. Соединяем точки с помощью лекала и получаем параболу.

Так как плоскость D параллельна только одной образующей конуса, то парабола имеет одну несобственную точку.

Поэтому, в частном случае, когда плоскость D касается одной образующей SК конуса (рис. 3-26), то получается вырожденный вид параболы - прямая m, совпадающая с SK.

Рис. 3-26

5. Гипербола получится в сечении, если плоскость при пересечении с конусом параллельна одновременно двум образующим конуса (рис. 3-27).

Алгоритм: W Ç S = k. S || SM, S || SN. 2 ГПЗ. 2 алгоритм.

1. S ^^ П2 Þ k2 = S2.

2. k1 Ì W

Рис. 3-27

Построение гиперболы, представленной на рис. 3-27, полностью идентично построению параболы (рис. 3-25).

Так как плоскость S параллельна двум образующим конуса а и b, то гипербола имеет две несобственные точки, и вырожденный вид гиперболы - две прямые а и b (рис. 3-18, 3-19), когда плоскость проходит через вершину конуса.

Рассмотрим частный случай построения гиперболы, когда плоскость S перпендикулярна П1, т.е. является горизонтально проецирующей (рис. 3-28). Построим три проекции линии пересечения конуса W с такой плоскостью S(S1).

Рис. 3-28

Алгоритм: W Ç S = k. S || SO, S || SE, S ^^ П1. 2 ГПЗ 2алгоритм

S^^ П1 Þ k1 = S1.

k2 Ì W2

Построение гиперболы начинаем с характерных точек:

Точки М и N принадлежат окружности основания конуса Þ M2,N2 Ì n2. М3 и N3 находим на n3, откладывая координату y этих точек с П1(эти расстояния отмечены двумя и одной риской соответственно).

Точка А располагается в плоскости фронтального меридиана и определяет видимость гиперболы относительно П2: точка N2 - невидимая. А2 лежит на очерковой образующей конуса, а А3 - на оси.

Точка С - вершина гиперболы. Она лежит на перпендикуляре, проведённом от S1 к S1. С2 находим по принадлежности параллели конуса, проведённой через С1. С3 строим аналогично точкам М3 и N3.

Точка В лежит в плоскости профильного меридиана и определяет видимость гиперболы относительно П3. В2 находим по принадлежности параллели, проведённой через В1, В3 лежит на очерковой образующей конуса. Часть гиперболы от В3 до М3 невидимая.

Промежуточные точки на П2 находим по принадлежности соответствующим параллелям, аналогично точке С, на П3 - по координатам y этих точек. Соединяем точки с учётом видимости с помощью лекала и получаем фронтальную и профильную проекции гиперболы.

Рассмотрим ещё одну задачу на пересечение поверхностей, из которых одна проецирующая, вторая - непроецирующая.

Задача: Построить линию пересечения сферы S и горизонтально проецирующей призмы Г (рис. 3-29).

Рис. 3-29

Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг.

1. Вначале определяем, что должно получиться в результате пересечения. Характер пересечения - частный случай вмятия, с одной общей точкой. Призма - трёхгранная, значит можно рассматривать пересечение сферы тремя отдельными плоскостями: D, F и L. Следовательно, линией пересечения является пространственная линия, состоящая из трёх плоских кривых второго порядка: двух дуг эллипсов (S Ç F = a, S Ç L = b) и одной дуги окружности (S Ç D = с).

2. Поскольку поверхность призмы – горизонтально проецирующая, то горизонтальная линия пересечения совпадает с Г1.

3. Фронтальную проекцию линии пересечения сферы с любой из плоскостей, например, Ф, строим по принадлежности сфере. a Ì S Þ а2 Ì S2 (рис. 3-30).

Рис. 3-30

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Точка 1 принадлежит экватору сферы Þ 12; точки 2 и 5 принадлежат фронтальному меридиану сферы и определяют видимость эллипса а относительно П2 Þ 22 и 52; точки 3 и 4 являются конечными точками дуги эллипса а Þ 32 и 42; точки 6 и 7 - высшая и низшая точки эллипса а. Промежуточные точки, так же, как точки 3, 4, 6, 7, находим по принадлежности параллелям сферы. Проводим а2 с учётом видимости.

4. Аналогично строим линию пересечения сферы с плоскостью L(рис. 3-31): b Ì S Þ b2 Ì S2.

Рис. 3-31

Результат пересечения сферы S с плоскостью D - окружность с (рис. 3-32) расположена за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, с2 Ì S2 - невидимая.

Рис. 3-32

На рис. 3-33 показан общий результат решения задачи с учётом видимости поверхностей.

Рис. 3-33

Алгоритм: S Ç Г = а, b, с. Г || П1. 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

1. Г ^^ П1 Þ а1, b1, с1 = Г1.

2. а2, b2, с2 Ì S.

Как Вы думаете, верно ли расставлены на П2 номера фигур сечения, соответствующие секущей плоскости S на П1?

Рис. 3-34


Построение аксонометрического чертежа фигуры, заданной комплексным чертежом