Курс лекций по ТОЭ и типовые задания, примеры решений

Задание1.2. Расчет параметров эквивапентного источника Развитие ядерной физики Примеры решения задач физика

Для схем, приведенных на рис. 1.15, требуется рассчитать значения параметров эквивалентных источников напряжения г„ и Е» по отношешно к зажимам а и б. Значения параметров элементов схем приведены в табл.

Расчет цепей постоянного тока по законам Кирхгофа

При расчете цепей постоянного тока по законам Кирхгофа будем считать, что цепь, кроме источников, содержит только сопротивления п или проводимости gk. В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю:

где п — число ветвей, которые сходятся в узле.

При этом токи, направленные к узлу, считают отрицательными, а токи, направленные от узла, — положительными. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений 1)к на ветвях в любом замкнутом контуре также равна нулю:

где т — число ветвей, которые образуют контур.

При этом напряжения, направление которых совпадает с направлением обхода контура, считают положительными, а напряжения, направление которых противоположно направлению обхода контура, — отрицательными.

Порядок расчета цепей, основанный на использовании законов Кирхгофа, следующий:

выбирают положительные направления токов в ветвях;

составляют (//у — 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа.

выбирают направления обхода независимых контуров,

составляют пь - (пу - 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, 

решают совместно полученную систему уравнений. 

Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

 

.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

(4)

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

При расчете цепей постоянного тока по законам Кирхгофа будем считать, что цепь, кроме источников, содержит только сопротивления п или проводимости gk. В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю:

При составлении топологического графа цепи используют понятие обобщенной ветви, в состав которой могут входить источник напряжения Еь источник тока сопротивление или проводимость Ск. Две возможные структуры таких ветвей приведены на рис. 1.17. Ветвь, изображенная на рис. 1.1 7д, состоит из идеального источника тока У* и реального источника напряжения Ек с внутренним сопротивлением включенных параллельно.

Очевидно, что если из этого графа удалить одну из ветвей, то в оставшемся графе контуров не будет. Граф, полученный после удаления ветви 4, называется деревом графа, а удаленная ветвь 4 — ветвью связи. Добавление к дереву графа ветви связи позволяет построить для этого графа один-единственный контур.

Для расчета этой схемы нужно составить четыре уравнения. При этом по второму закону Кирхгофа можно составить одно уравнение для единственного независимого контура, а остальные три уравнения можно составить по первому уравнению Кирхгофа для любых трех узлов, например узлов 1, 2, 3. Уравнения, составленные по графу цепи, имеют вид:

Рассмотрим решение задачи с помощью последовательных расчетов. Определяем значение тока /2 = и2/г2 =4/2 = 2 А.

Для контура к2 составим уравнение по второму закону Кирхгофа и определим напряжение

и2 - 1/п + иг = 0;

отсюда находим £/3 = —£Д + Ег = -4 + 10 = 6 В. ^ По закону Ома находим ток /3 = {У3/г3 = 6/2 = 3 А.

 По первому закону Кирхгофа определим ток /,= /3 - 12 - = 3- 2=1 А.

По закону Ома находим напряжения на элементах г, и г4: £/, = г,-/, = 1 В; иЛ = гА1л = 5 В.

 Для контура составим уравнение по второму закону Кирх гофа и определим значение напряжения источника Е:

-иЕХ + I/, + 1/, + ил = 0;

отсюда находим = 1)\ + {/3 + С/4 = 12 В. На этом решение задачи можно считать законченным. Однако следует отметить, что решение задачи будет иным если выбрать другое направление тока /2 в сопротивлении гъ как показано на рис. 1.19 штриховой линией. Пользуясь той же последовательностью расчета, найдем напряжение источника Ех в этом -случае,

Примечание к решению задачи

При решении обратных задач можно использовать различные методы расчета цепей, например методы контурных токов или узловых напряжений. Однако при использовании этих методов приходится выполнять замену переменных в уравнениях, составленных но этим методам В связи с этим рассмотрим пример на применение метода контурных токов при решении обратной задачи.

В этих уравнениях параметры элементов имеют следующие значения: г\\ = + гъ + г0 = 40,4 Ом; г33 = г4 + г0 = 40,4 Ом; гп = г2 + г4 + г0 = 64,4 Ом; г и = г21 ~ = 0,4 Ом; г,3 = г3, = г, = 16 Ом; гп = г32 = = г2 = 24 Ом; /33 = 7а = 0,125 А; £„ = -Е\ Е1г = £; £33 = 0.

Если в уравнения контурных токов подставить числовые значения параметров элементов и поменять местами члены с известным током /33 = 1А и неизвестным напряжением Е, получим систему уравнений:

В отличие от сопротивлений и проводимостей, которые способны только потреблять электрическую энергию, активные элементы (источники напряжения или тока) способны как потреблять, так и отдавать энергию во внешнюю цепь. В цепях с одним источником всегда происходит передача энергии источника во внешнюю цепь. При наличии в цепи нескольких источников некоторые из них могут работать в режиме потребления энергии. Такое положение может иметь место, например, при зарядке или разрядке аккумуляторов. В связи с этим мощность источников следует определять с учетом направлений напряжения и тока в них, пользуясь формулами:

Выполним расчет цепи по методу контурных токов. При расчете цепи по методу контурных токов вначале нужно составить уравнения и определить значения контурных сопротивлений и напряжений источников. Если в схеме содержатся источники тока, то их предварительно нужно заменить эквивалентными источниками напряжения Расчетная схема для метода контурных токов приведена на рис. 1.25.

Сравнение результатов расчета токов /,, /2, /3 методами узловых напряжений и контурных токов показало их полное совпадение, что подтверждает корректность решения задачи.

Определим ток в сопротивлении Л6, пользуясь методом эквивалентного генератора. Для этого будем считать, что сопротивление Л6 является нагрузкой, исключим его, разорвав ветвь, в которой оно было включено, как показано на рис. 1.27а. Затем для полученной схемы найдем напряжение (/хх холостого хода и ее входное сопротивление Яах между зажимами подключения нагрузки (т. е. сопротивления Я6). В результате схема сводится к цепи, которая изображена на рис. 1.266.

Определим напряжение между точками А и В схемы, используя выполненные выше расчеты. Для расчета напряжения иАв со- ставим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого конту ра, который показан штриховой линией на рис, 1.24: