Предел последовательности

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2: Построения на изображениях математика решение задач

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые  при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n2, имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:

 

Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .