Предел последовательности
Задания для подготовки к практическому занятию
Напомним для начала, что числовая последовательность
– это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать,
так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности
(а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве
натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена.
Например, если 
, то первые члены этой последовательности:
Предел последовательности Математика
Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения
Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:
- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.
- Последовательность
: 
стремится к 0 при n®¥. Действительно,
при очень больших значениях n значения 
становятся очень
маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.
Пишут: 
(предел при n®¥ равен 0) или иногда 
.
- Сходным образом 
и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель
неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.
При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:
предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);
предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);
предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).
.
.
, то 
. Перейдем в интеграле к новой переменной t:
.