Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

  Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

 2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

 3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

В результате применения к матрице  элементарного преобразования первого типа её строки   и  (или столбцы  и ) поменяются местами; во втором случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ); в последнем случае строка  (или столбец ) будет заменена на строку  (или столбец ), а строка  (столбец ) остается неизменной.

 Свойства элементарных преобразований.

 1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

 ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

.  ►

 2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

 ◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

  . ►

 3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

 ◄ Действительно, элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

 (1.17)

Элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

  (1.18)

Наконец, элементарные преобразования  и  порождают одну и туже элементарную матрицу

  (1.19)

 4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

 ◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

   

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►

 5) Пусть . Проведение в матрице  одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка  (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

  ◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы   вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице  элементарных преобразований соответственно  и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно  и . ►

Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.