Двойной интеграл

Задания для подготовки к практическому занятию

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2. Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Математика лекции и задачи

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

3.

Интеграл, вычисленный в последнем примере, называется повторным интегралом и записывать его принято так:

Вопросы и задачи

п1. Вычислить интегралы, если возможно:

 а) ; б) ; в)

п2. Вычислить повторные интегралы:

 а) ; б)

Задачи к практическому занятию

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1.;  2.;

3.;  4.

Изменить порядок интегрирования:

5.;  6.;

7.;  8.

Вычислить:

9.

10.

11.

12.

Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.