Решение примерного варианта контрольной работы №1
Задача
2. Найти частные производные 
, 
и 
, если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez
– cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F
=
(4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =
= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;
F
=
(4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2ez + 4y;
F
= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2yez – sin (x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):
;
По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):
.
Ответы:
; 
;
.
Задача
3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где x = cos3t, 
.
Найти полную производную 
.
Решение. Используя формулу (4), получаем:
.
Подставив в полученный результат x
= cos3t, , получим выражение полной производной
через независимую переменную t:
Ответ:
.
.